近年、多くのプログラミング言語で「複素数 (complex number)」がサポートされるようになりました。たとえば、Ｃ言語では 1999 年に発行された規格 C99 で複素数型が導入されました。Go 言語や Python でも複素数型をサポートしていますし、複素数用の標準ライブラリを用意している言語 (C++, Ruby, Haskell など) も多くあります。
他の言語では、FORTRAN や Common Lisp が昔から複素数型をサポートしています。Common Lisp の場合、基本的な数学関数でも複素数を適用できるのであれば、引数に複素数を渡して計算することができます。もちろん、Scheme でも複素数を取り扱うことができます。今回は Scheme (R7RS-small) の複素数について説明します。
Scheme では数を整数 (integer)、有理数 (rational number)、実数 (real number)、複素数 (complex number) の 4 つに分類しています。これらの分類は階層的になっていて、すべての整数は有理数であり、すべての有理数は実数であり、すべての実数は複素数となっています。
Scheme の場合、整数はメモリの許す限り任意の精度で扱うことができます。これを「正確な数」といいます。有理数は分子と分母を整数で保持しているので、これも正確な数になります。通常、実数は浮動小数点数 (floating point number) として表現されます。浮動小数点数には IEEE 754 という標準仕様があり、近代的なプログラミング言語のほとんどは、IEEE 754 に準拠した浮動小数点数をサポートしています。浮動小数点数はすべての小数を正確に表現することはできません。このため、実数は「不正確な数」になります。
IEEE 754 には通常の数値以外にも、負のゼロ (-0.0)、正負の無限大 (∞, -∞)、NaN (Not a Number, 非数) といった値が定義されています。これらの値は Scheme (R7RS-small) でも取り扱うことができます。正負の無限大は +inf.0, -inf.0 と、NaN は +nan.0 と表記されます。なお、仕様 (R7RS-small) ではゼロと負のゼロの区別を要求していないので、動作は処理系に依存します。区別する処理系の場合、(eqv? 0.0 -0.0) は偽を返します。
一般に、無限大は値のオーバーフロー、ゼロ除算 (数値 / 0.0)、数学関数の計算結果 (たとえば log(0.0)) などで発生します。なお、浮動小数点数のゼロ除算でエラー (例外) を送出する処理系 (たとえば Python など) もあります。
Gauche での実行例を示します。
gosh[r7rs.user]> 1e308 1.0e308 gosh[r7rs.user]> 1e309 +inf.0 gosh[r7rs.user]> (* 1e308 2) +inf.0 gosh[r7rs.user]> -1e308 -1.0e308 gosh[r7rs.user]> -1e309 -inf.0 gosh[r7rs.user]> (* -1e308 2) -inf.0 gosh[r7rs.user]> (/ 1.0 0.0) +inf.0 gosh[r7rs.user]> (/ -1.0 0.0) -inf.0 gosh[r7rs.user]> (log 0.0) -inf.0
Scheme の場合、無限大の判定はライブラリ inexact の関数 finite?, infinite? を使います。finite? は +inf.0, -inf.0, +nan.0 以外のすべての数に対して真を返します。逆に、infinite? は +inf.0, -inf.0, +nan.0 に対して真を返します。簡単な例を示しましょう。
gosh[r7rs.user]> +inf.0 +inf.0 gosh[r7rs.user]> (finite? +inf.0) #f gosh[r7rs.user]> (infinite? +inf.0) #t gosh[r7rs.user]> (finite? 1) #t gosh[r7rs.user]> (infinite? 1) #f gosh[r7rs.user]> (finite? 1.2345) #t gosh[r7rs.user]> (infinite? 1.2345) #f
無限大は他の数値と比較したり演算することもできますが、結果が NaN になることもあります。
gosh[r7rs.user]> (< -inf.0 +inf.0) #t gosh[r7rs.user]> (> -inf.0 +inf.0) #f gosh[r7rs.user]> (= -inf.0 +inf.0) #f gosh[r7rs.user]> (= +inf.0 +inf.0) #t gosh[r7rs.user]> (< -inf.0 0) #t gosh[r7rs.user]> (< 0.0 +inf.0) #t gosh[r7rs.user]> (+ +inf.0 10) +inf.0 gosh[r7rs.user]> (- +inf.0 10) +inf.0 gosh[r7rs.user]> (* +inf.0 10) +inf.0 gosh[r7rs.user]> (/ +inf.0 10) +inf.0 gosh[r7rs.user]> (+ +inf.0 +inf.0) +inf.0 gosh[r7rs.user]> (* +inf.0 +inf.0) +inf.0 gosh[r7rs.user]> (- +inf.0 +inf.0) +nan.0 gosh[r7rs.user]> (/ +inf.0 +inf.0) +nan.0 gosh[r7rs.user]> (+ +inf.0 -inf.0) +nan.0 gosh[r7rs.user]> (* +inf.0 0.0) +nan.0
負のゼロ (-0.0) は、計算結果が負の極めて小さな値でアンダーフローになったとき発生します。また、正の値を負の無限大で除算する、負の値を正の無限大で除算する、負の値と 0.0 を乗算しても -0.0 が得られます。
gosh[r7rs.user]> -1e-323 -1.0e-323 gosh[r7rs.user]> -1e-324 -0.0 gosh[r7rs.user]> (/ -1e-323 2.0) -5.0e-324 gosh[r7rs.user]> (/ -1e-323 4.0) -0.0 gosh[r7rs.user]> (/ 1 -inf.0) -0.0 gosh[r7rs.user]> (/ -1 +inf.0) -0.0 gosh[r7rs.user]> (* -1.0 0.0) -0.0
標準では、演算子 (Ｃ言語の == など) による 0.0 と -0.0 の比較は等しいと判定されます。Scheme の場合、ゼロと負のゼロを区別する処理系では関数 eqv? で 0.0 と -0.0 を区別することができます。また、任意の正の数を -0.0 で除算すると -inf.0 になるので、それを使って判別することもできます。
gosh[r7rs.user]> (= 0.0 -0.0) #t gosh[r7rs.user]> (eqv? 0.0 -0.0) #t gosh[r7rs.user]> (/ 1.0 -0.0) -inf.0 gosh[r7rs.user]> (/ 1.0 0.0) +inf.0
Gauche の場合、(eqv? 0.0 -0.0) が #t を返すので、ゼロと負のゼロの区別を厳密にはしていないのかもしれません。なお、-0.0 は数学関数 (Ｃ言語の数学関数 atan2 など, Scheme では 2 引数の関数 atan) や複素数の演算処理などで使われます。
gosh[r7rs.user]> (sqrt 0.0) 0.0 gosh[r7rs.user]> (sqrt -0.0) -0.0 gosh[r7rs.user]> (atan 0.0 -1.0) 3.141592653589793 gosh[r7rs.user]> (atan -0.0 -1.0) -3.141592653589793
NaN は数ではないことを表す特別な値 (非数) です。一般的には 0.0 / 0.0 といった不正な演算を行うと、その結果は NaN になります。
gosh[r7rs.user]> +nan.0 +nan.0 gosh[r7rs.user]> (/ 0.0 0.0) +nan.0 gosh[r7rs.user]> (/ +nan.0 +nan.0) +nan.0 gosh[r7rs.user]> (/ +inf.0 +inf.0) +nan.0 gosh[r7rs.user]> (nan? +nan.0) #t gosh[r7rs.user]> (nan? 0.0) #f
Scheme の場合、NaN はライブラリ inexact の関数 nan? で判別することができます。
数学では複素数 z を \(x + iy\) と表記します。x を実部、y を虚部、i を虚数単位といいます。虚数単位は 2 乗すると -1 になる数です。実部と虚部の 2 つの数値を格納するデータ構造を用意すれば、プログラミング言語でも複素数を表すことができます。Scheme の場合、実部と虚部が正確な数ならば、複素数も正確な数になります。また、実部と虚部が不正確な数ならば、複素数も不正確な数になります。Gauche では実部と虚部を実数で保持しているので、複素数は不正確な数になります。
Scheme は複素数 \(z = x + iy\) を x+yi と表記します。符号 (+, -) の前後に空白を入れてはいけません。Gauche の場合、x, y が整数や有理数のときは実数に変換されます。実部 x を省略すると x は 0.0 になります。虚部 y を省略して +i, -i とすると、0.0+1.0i, 0.0-1.0i になります。
このほかに、ライブラリ complex には複素数を生成する関数 make-rectangular、実部を求める関数 real-part、虚部を求める関数 imag-part が用意されています。
簡単な例を示しましょう。
gosh[r7rs.user]> +i 0.0+1.0i gosh[r7rs.user]> -i 0.0-1.0i gosh[r7rs.user]> 1+i 1.0+1.0i gosh[r7rs.user]> 1-i 1.0-1.0i gosh[r7rs.user]> -1-2i -1.0-2.0i gosh[r7rs.user]> (make-rectangular 1 2) 1.0+2.0i gosh[r7rs.user]> (make-rectangular (+ 1 2) (* 3 4)) 3.0+12.0i gosh[r7rs.user]> (define a 1.2+3.4i) a gosh[r7rs.user]> a 1.2+3.4i gosh[r7rs.user]> (real-part a) 1.2 gosh[r7rs.user]> (imag-part a) 3.4
Gauche は複素数 z の虚部が 0 の場合、z を実数に変換します。
gosh[r7rs.user]> 1.0+0.0i 1.0 gosh[r7rs.user]> 1.0-0.0i 1.0 gosh[r7rs.user]> (- 1.0+1.0i +i) 1.0 gosh[r7rs.user]> (+ 1.0+1.0i -i) 1.0 gosh[r7rs.user]> (real? 1.0-0.0i) #t gosh[r7rs.user]> (real? 1.0+0.0i) #t
Gauche では複素数 \(x+0.0i\) と \(x-0.0i\) の区別がつかないことに注意してください。
複素数は極形式 \(z = r(\cos \theta + i \sin \theta)\) で表すことができます。このとき、r を絶対値、\(\theta\) を偏角といいます。Scheme では複素数を極形式 r@\(\theta\) で記述することができます。ライブラリ complex には絶対値を求める関数 magnitude、偏角を求める関数 angle、絶対値と偏角から複素数を生成する関数 make-polar が用意されています。angle の返り値 \(\theta\) は \(-\pi \lt \theta \leq \pi\) (\(\pi\) : 円周率) です。
簡単な例を示しましょう。
gosh[r7rs.user]> (define b 1+i) b gosh[r7rs.user]> b 1.0+1.0i gosh[r7rs.user]> (magnitude b) 1.4142135623730951 gosh[r7rs.user]> (angle b) 0.7853981633974483 gosh[r7rs.user]> (make-polar (magnitude b) (angle b)) 1.0000000000000002+1.0i gosh[r7rs.user]> 1.4142@0.7854 0.9999885733673903+0.9999922465372674i gosh[r7rs.user]> 1@0 1.0 gosh[r7rs.user]> 1@1 0.5403023058681398+0.8414709848078965i gosh[r7rs.user]> 1@2 -0.4161468365471424+0.9092974268256817i gosh[r7rs.user]> 1@3 -0.9899924966004454+0.1411200080598672i gosh[r7rs.user]> 1@-1 0.5403023058681398-0.8414709848078965i gosh[r7rs.user]> 1@-2 -0.4161468365471424-0.9092974268256817i gosh[r7rs.user]> 1@-3 -0.9899924966004454-0.1411200080598672i
Gauche の場合、\(-1+0.0i\) と \(-1-0.0i\) の偏角 \(\theta\) は \(\pi\) になります。
gosh[r7rs.user]> (angle -1+0.0i) 3.141592653589793 gosh[r7rs.user]> (angle -1-0.0i) 3.141592653589793 gosh[r7rs.user]> (angle -1-0.01i) -3.131592986903128 gosh[r7rs.user]> (angle -1-0.001i) -3.1405926539231266 gosh[r7rs.user]> (angle -1-0.0001i) -3.1414926535901264
+0.0i と -0.0i を区別できる処理系であれば、\(-1-0.0i\) の偏角は \(-\pi\) になります。
実部と虚部の値は +inf.0, -inf.0, +nan.0 になることもあります。
gosh[r7rs.user]> +inf.0+inf.0i +inf.0+inf.0i gosh[r7rs.user]> +inf.0-inf.0i +inf.0-inf.0i gosh[r7rs.user]> +nan.0+nan.0i +nan.0+nan.0i gosh[r7rs.user]> +nan.0+inf.0i +nan.0+inf.0i gosh[r7rs.user]> +inf.0+nan.0i +inf.0+nan.0i gosh[r7rs.user]> (* 1e300+1e300i 1e300+1e300i) +nan.0+inf.0i
実部と虚部の値が +inf.0, -inf.0, +nan.0 の場合、述語 infinite? は真を返します。
gosh[r7rs.user]> (infinite? +inf.0+i) #t gosh[r7rs.user]> (infinite? 1+inf.0i) #t gosh[r7rs.user]> (infinite? +nan.0+inf.0i) #t
Scheme の数は以下の述語で判定することができます。
簡単な例を示しましょう。
gosh[r7rs.user]> (number? 1+i) #t gosh[r7rs.user]> (complex? 1+i) #t gosh[r7rs.user]> (real? 1+i) #f gosh[r7rs.user]> (integer? 1+i) #f gosh[r7rs.user]> (integer? 1) #t gosh[r7rs.user]> (real? 1) #t gosh[r7rs.user]> (complex? 1) #t gosh[r7rs.user]> (exact? 1) #t gosh[r7rs.user]> (exact? 1/2) #t gosh[r7rs.user]> (exact? 1.5) #f gosh[r7rs.user]> (exact? 1+i) #f gosh[r7rs.user]> (inexact? 1) #f gosh[r7rs.user]> (inexact? 1/2) #f gosh[r7rs.user]> (inexact? 1.5) #t gosh[r7rs.user]> (inexact? 1+i) #t
複素数の四則演算は次のようになります。
これらの演算は Scheme の関数 +, -, * , / で行うことができます。複素数の場合、大小の比較演算は使えませんが、等値の判定は関数 = や eqv? で行うことができます。簡単な例を示しましょう。
gosh[r7rs.user]> (define a 1+2i) a gosh[r7rs.user]> a 1.0+2.0i gosh[r7rs.user]> (define b 3+4i) b gosh[r7rs.user]> b 3.0+4.0i gosh[r7rs.user]> (+ a b) 4.0+6.0i gosh[r7rs.user]> (- a b) -2.0-2.0i gosh[r7rs.user]> (* a b) -5.0+10.0i gosh[r7rs.user]> (/ a b) 0.44+0.08i gosh[r7rs.user]> (= a a) #t gosh[r7rs.user]> (= a b) #f gosh[r7rs.user]> (eqv? a a) #t gosh[r7rs.user]> (eqv? a b) #f
複素数を引数にとる指数関数はオイラー (Euler) の公式から導くことができます。
複素数の対数関数は複素数 z を絶対値 \(|z|\) と偏角 \(\theta\) を使って導くことができます。
複素数 x, y のべき乗 \(x^y\) は次式で求めることができます。
ライブラリ inexact の関数 exp, log, expt は複素数に対応しています。簡単な例を示しましょう。
gosh[r7rs.user]> (define pi (angle -1.0+0.0i)) pi gosh[r7rs.user]> pi 3.141592653589793 gosh[r7rs.user]> (exp 0.0) 1.0 gosh[r7rs.user]> (exp (make-rectangular 0.0 (/ pi 4))) 0.7071067811865476+0.7071067811865475i gosh[r7rs.user]> (exp (make-rectangular 0.0 (/ pi 2))) 6.123233995736766e-17+1.0i gosh[r7rs.user]> (exp (make-rectangular 0.0 pi)) -1.0+1.2246467991473532e-16i gosh[r7rs.user]> (exp (make-rectangular 1.0 1.0)) 1.4686939399158851+2.2873552871788423i gosh[r7rs.user]> (log 1.0+1.0i) 0.3465735902799727+0.7853981633974483i gosh[r7rs.user]> (log 1.0+0.0i) 0.0 gosh[r7rs.user]> (log 0.0+1.0i) 0.0+1.5707963267948966i gosh[r7rs.user]> (log 1.0-1.0i) 0.3465735902799727-0.7853981633974483i gosh[r7rs.user]> (log 1e100+1e100i) 230.60508288968455+0.7853981633974483i gosh[r7rs.user]> (expt 1.0+1.0i 0.0) 1.0 gosh[r7rs.user]> (expt 1.0+1.0i 1.0) 1.0000000000000002+1.0i gosh[r7rs.user]> (expt 1.0+1.0i 2.0) 1.2246467991473532e-16+2.0i gosh[r7rs.user]> (expt 1.0+1.0i 3.0) -2.0+2.0000000000000004i gosh[r7rs.user]> (expt 1.0+2.0i 3.0+4.0i) 0.129009594074467+0.03392409290517014i gosh[r7rs.user]> (expt 1.0+1.0i 1.0+1.0i) 0.2739572538301211+0.5837007587586147i
複素数の三角関数の定義は、オイラーの公式から導かれる式の \(\theta\) を複素数 \(z\) に変えたものになります。
\(\sin z, \cos z\) に純虚数 \(ix\) を与えると双曲線関数 (\(\sinh x, \cosh x\)) になります。
これに三角関数の加法定理 [*1] を使うと次の式が導かれます。
Scheme のライブラリ inexact にある三角関数 (sin, cos, tan) は複素数にも対応しています。簡単な実行例を示します。
gosh[r7rs.user]> (sin +i) 0.0+1.1752011936438014i gosh[r7rs.user]> (magnitude (sin +i)) 1.1752011936438014 gosh[r7rs.user]> (sin 1.0+i) 1.2984575814159773+0.6349639147847361i gosh[r7rs.user]> (magnitude (sin 1.0+i)) 1.4453965766582495 gosh[r7rs.user]> (sin 1.0-i) 1.2984575814159773-0.6349639147847361i gosh[r7rs.user]> (magnitude (sin 1.0-i)) 1.4453965766582495 gosh[r7rs.user]> (cos +i) 1.5430806348152437 gosh[r7rs.user]> (cos -i) 1.5430806348152437 gosh[r7rs.user]> (cos 1.0+i) 0.8337300251311491-0.9888977057628651i gosh[r7rs.user]> (magnitude (cos 1.0+i)) 1.2934544550420957 gosh[r7rs.user]> (cos 1.0-i) 0.8337300251311491+0.9888977057628651i gosh[r7rs.user]> (magnitude (cos 1.0-i)) 1.2934544550420957 gosh[r7rs.user]> (tan +i) -0.0+0.7615941559557649i gosh[r7rs.user]> (magnitude (tan +i)) 0.7615941559557649 gosh[r7rs.user]> (tan -i) 0.0-0.7615941559557649i gosh[r7rs.user]> (magnitude (tan -i)) 0.7615941559557649 gosh[r7rs.user]> (magnitude (tan 1.0+i)) 1.1174700207060706 gosh[r7rs.user]> (tan 1.0+i) 0.27175258531951174+1.0839233273386948i gosh[r7rs.user]> (tan 1.0-i) 0.27175258531951174-1.0839233273386948i gosh[r7rs.user]> (magnitude (tan 1.0-i)) 1.1174700207060706
複素数の双曲線関数の定義は、実数の定義で引数 x を複素数 z に変えたものになります。
sinh z, cosh z に純虚数 ix を与えると三角関数 (sin x, cos x) になります。
これに双曲線関数の加法定理を使うと、次の式が導かれます。
R7RS-small の場合、双曲線関数は定義されていませんが、Gauche では双曲線関数 (sinh, cosh, tanh) を使用することができます。簡単な使用例を示します。
gosh> (sinh +i) 0.0+0.8414709848078965i gosh> (sinh -i) 0.0-0.8414709848078965i gosh> (sinh 1.0+i) 0.6349639147847361+1.2984575814159773i gosh> (sinh 1.0) 1.1752011936438014 gosh> (sinh 0.0) 0.0 gosh> (cosh +i) 0.5403023058681398 gosh> (cosh -i) 0.5403023058681398 gosh> (cosh 1.0+i) 0.8337300251311491+0.9888977057628651i gosh> (cosh 1.0) 1.5430806348152437 gosh> (cosh 0.0) 1.0 gosh> (tanh +i) 0.0+1.557407724654902i gosh> (tanh -i) 0.0-1.557407724654902i gosh> (tanh 1.0+i) 1.0839233273386948+0.27175258531951174i gosh> (tanh 1.0) 0.7615941559557649 gosh> (tanh 0.0) 0.0
複素数 z の平方根は次の式で求めることができます。
式 (1) を平方根の主値といいます。角度は \(2\pi\) を足すと同じ角度になるので、式 (2) がもう一つの解になります。三角関数の半角の公式を使うと、式 (1) から次の式が導かれます。
Scheme のライブラリ inexact にある sqrt は複素数にも対応しています。簡単な実行例を示します。
gosh[r7rs.user]> (sqrt 1) 1 gosh[r7rs.user]> (sqrt 2) 1.4142135623730951 gosh[r7rs.user]> (sqrt 3) 1.7320508075688772 gosh[r7rs.user]> (sqrt -1) 0.0+1.0i gosh[r7rs.user]> (sqrt -2) 0.0+1.4142135623730951i gosh[r7rs.user]> (sqrt -3) 0.0+1.7320508075688772i gosh[r7rs.user]> (define a (sqrt 1.0+i)) a gosh[r7rs.user]> a 1.0986841134678098+0.45508986056222733i gosh[r7rs.user]> (* a a) 0.9999999999999998+0.9999999999999999i gosh[r7rs.user]> (define a (sqrt 1.0-i)) a gosh[r7rs.user]> a 1.0986841134678098-0.45508986056222733i gosh[r7rs.user]> (* a a) 0.9999999999999998-0.9999999999999999i gosh[r7rs.user]> (define a (sqrt -1.0+i)) a gosh[r7rs.user]> a 0.4550898605622274+1.0986841134678098i gosh[r7rs.user]> (* a a) -0.9999999999999997+1.0i gosh[r7rs.user]> (define a (sqrt -1.0-i)) a gosh[r7rs.user]> a 0.4550898605622274-1.0986841134678098i gosh[r7rs.user]> (* a a) -0.9999999999999997-1.0i
三角関数の逆関数を「逆三角関数 (inverse trigonometric function)」といいます。以下に Scheme (R7RS-small) の逆三角関数を示します。
ここでは引数 x を実数とします。asin x は引数 x が与えられたとき sin w = x となる角度 w を求めます。同様に acos x は cos w = x となる角度 w を、atan x は tan x = w となる角度 w を求めます。三角関数には周期性があるので、上式を満たす角度 w は無数に存在します。つまり、逆三角関数の返り値は無数にあることになりますが、通常は一つの値を返すように範囲を制限します。これを「主値」といいます。
逆三角関数の主値を以下に示します。
本ページでは、数式の表示に JavaScript のライブラリ MathJax を使っています。MathJax では、逆三角関数を arcsin, arccos, arctan と表示します。
簡単な実行例を示します。
gosh[r7rs.user]> (for-each (lambda (x) (display (asin x)) (newline)) '(-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0)) -1.5707963267948966 -0.5235987755982989 0.0 0.5235987755982989 1.5707963267948966 #<undef> gosh[r7rs.user]> (for-each (lambda (x) (display (acos x)) (newline)) '(-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0)) 3.141592653589793 2.0943951023931957 1.5707963267948966 1.0471975511965979 0.0 #<undef> gosh[r7rs.user]> (for-each (lambda (x) (display (atan x)) (newline)) '(-1e300 -1.0 0.0 1.0 1e300)) -1.5707963267948966 -0.7853981633974483 0.0 0.7853981633974483 1.5707963267948966 #<undef>
Scheme (R7RS-small) には 2 引数の関数 atan も用意されています。これは他のプログラミング言語、たとえばＣ言語の数学関数 atan2 と同じです。
(atan2 y x) => 角度 (ラジアン)
引数 x, y は実数です。atan2 は直交座標系においてベクトル (x, y) と x 軸との角度を求める関数です。複素平面で考えると、複素数 \(x + iy\) の偏角 \(\theta\) を求めることと同じです。ただし、Gauche の atan y x はゼロと負のゼロを区別するので、返り値 (角度 \(\theta\)) の範囲は \(-\pi \leq \theta \leq \pi\) になります。
簡単な実行例を示します。
gosh[r7rs.user]> (atan 0.0 1.0) 0.0 gosh[r7rs.user]> (atan 1.0 1.0) 0.7853981633974483 gosh[r7rs.user]> (atan 1.0 0.0) 1.5707963267948966 gosh[r7rs.user]> (atan 1.0 -1.0) 2.356194490192345 gosh[r7rs.user]> (atan 0.0 -1.0) 3.141592653589793 gosh[r7rs.user]> (atan -1.0 1.0) -0.7853981633974483 gosh[r7rs.user]> (atan -1.0 0.0) -1.5707963267948966 gosh[r7rs.user]> (atan -1.0 -1.0) -2.356194490192345 gosh[r7rs.user]> (atan -0.0 -1.0) -3.141592653589793
複素数の逆三角関数の定義は、複素数の三角関数の定義から導くことができます。\(\arcsin z\) の定義は次のようになります。
\(\arccos z, \arctan z\) は定義だけを示します。
簡単な実行例を示します。
gosh[r7rs.user]> (asin 2.0) 1.5707963267948966-1.3169578969248166i gosh[r7rs.user]> (sin (asin 2.0)) 1.9999999999999998-1.0605752387249067e-16i gosh[r7rs.user]> (asin +i) -0.0+0.8813735870195428i gosh[r7rs.user]> (sin (asin +i)) -0.0+0.9999999999999997i gosh[r7rs.user]> (asin 1.0+i) 0.6662394324925153+1.0612750619050355i gosh[r7rs.user]> (sin (asin 1.0+i)) 1.0+0.9999999999999998i gosh[r7rs.user]> (acos 2.0) 0.0+1.3169578969248166i gosh[r7rs.user]> (cos (acos 2.0)) 1.9999999999999998 gosh[r7rs.user]> (acos +i) 1.5707963267948966-0.8813735870195428i gosh[r7rs.user]> (cos (acos +i)) 8.659560562354932e-17+0.9999999999999997i gosh[r7rs.user]> (acos 1.0+i) 0.9045568943023813-1.0612750619050355i gosh[r7rs.user]> (cos (acos 1.0+i)) 1.0+0.9999999999999998i gosh[r7rs.user]> (atan 1.0+i) 1.0172219678978514+0.4023594781085251i gosh[r7rs.user]> (tan (atan 1.0+i)) 1.0+0.9999999999999999i