お気楽 Julia プログラミング超入門

線形代数編

●複素数

今回は Julia の複素数について簡単にまとめてみました。

複素数 \(a + bi\) (a : 実部, b : 虚部, i : 虚数単位) は a + bim と表す
複素数のデータ型名は Complex

Complex{T} (実数部 X と虚数部 Y が T 型の数)
Complex32 (実数部 X と虚数部 Y が Float32)
Complex64 (実数部 X と虚数部 Y が Float64)

コンストラクタ complex は複素数を生成する

complex(a, b)

a が実部で、b が虚部
b を省略すると虚部は 0 になる

実部は関数 real で、虚部は関数 imag で取得する
四則演算 (+, -, *, /) や累乗 (^) はそのまま使える
比較演算子は = と != が使用できる

複素数の場合、大小関係 (<, >, <=, >=) は使えない

複素数を極形式 \(z = r(\cos \theta + i \sin \theta)\) で表した場合、r を絶対値、\(\theta\) を偏角という
絶対値は関数 abs で、偏角は関数 angle で求める
絶対値の 2 乗を返す関数 abs2 もある
関数 cis x は絶対値が 1 で偏角が x の複素数を生成する

cis は cos + i sin の略

複素共役は関数 conj で求める
基本的な数学関数 (sqrt, exp, log, 三角関数など) は複素数も使用できる

julia> complex(1, 2)
1 + 2im

julia> complex(1.0, 2)
1.0 + 2.0im

julia> complex(1.0)
1.0 + 0.0im

julia> typeof(1 + 2im)
Complex{Int64}

julia> typeof(1.0 + 2im)
Complex{Float64}

julia> a = 1 + 2im
1 + 2im

julia> b = 1 - im
1 - 1im

julia> a + b
2 + 1im

julia> a - b
0 + 3im

julia> a * b
3 + 1im

julia> a / b
-0.5 + 1.5im

julia> a * a
-3 + 4im

julia> a ^ 2
-3 + 4im

julia> a == a
true

julia> a != a
false

julia> a != b
true

julia> real(a)
1

julia> imag(a)
2

julia> abs(a)
2.23606797749979

julia> abs2(a)
5

julia> abs(b)
1.4142135623730951

julia> abs2(b)
2

julia> angle(a)
1.1071487177940904

julia> angle(b)
-0.7853981633974483

julia> cis(0)
1.0 + 0.0im

julia> cis(pi/4)
0.7071067811865476 + 0.7071067811865475im

julia> cis(pi/2)
6.123233995736766e-17 + 1.0im

julia> cis(pi)
-1.0 + 1.2246467991473532e-16im

julia> cis(angle(a))
0.44721359549995804 + 0.8944271909999159im

julia> cis(angle(b))
0.7071067811865476 - 0.7071067811865475im

julia> sqrt(-1 + 0im)
0.0 + 1.0im

julia> sqrt(-2 + 0im)
0.0 + 1.4142135623730951im

julia> sqrt(-1 + 0im) ^ 2
-1.0 + 0.0im

julia> sqrt(-2 + 0im) ^ 2
-2.0000000000000004 + 0.0im

julia> exp(complex(0, pi/4))
0.7071067811865476 + 0.7071067811865475im

julia> exp(complex(0, pi)) + 1
0.0 + 1.2246467991473532e-16im

●複素ベクトル

成分 (要素) が複素数のベクトルを「複素ベクトル」という
複素共役を * で表すと、ベクトル \(v = (v_1, v_2, \ldots, v_n)\) の複素共役は \(v^* = ({v_1}^*, {v_2}^*, \ldots, {v_n}^*)\) となる
複素ベクトル \(u, v\) の内積 \((u, v)\) を \(\displaystyle \sum_{i=1}^n u_i {v_i}^*\) と定義する

これをエルミート内積という
\((u, v) = \displaystyle \sum_{i=1}^n {u_i}^* \,v_i\) と定義してもよい
エルミート内積は演算子 <.> で求めることができる
エルミート内積は関数 LinearAlgebra.dot(u, v) で求めることができる
Julia では \((u, v) = \displaystyle \sum_{i=1}^n {u_i}^* \,v_i\) で計算している

エルミート内積の性質

\((u, v) = (v, u)^*\)
\((u + v, w) = (u, w) + (v, w), (u, v + w) = (u, v) + (u, w)\)
\(a(u, v) = (au, v) = (u, a^* v)\), a : 定数 (複素数)
\((u, u) \geq 0, (u, u) = 0\) のとき \(u\) は零ベクトル

複素ベクトル \(v\) のノルムは内積を使って \(\sqrt {(v, v)}\) と定義される

複素ベクトルのノルムは実数になる
v のノルムは関数 LinearAlgebra.norm(v) で求めることができる

julia> using LinearAlgebra

julia> a = [1 + 2im, 3 + 4im]
2-element Vector{Complex{Int64}}:
 1 + 2im
 3 + 4im

julia> b = [5 + 6im, 7 + 8im]
2-element Vector{Complex{Int64}}:
 5 + 6im
 7 + 8im

julia> conj.(a)
2-element vector{Complex{Int64}}:
 1 - 2im
 3 - 4im

julia> conj.(b)
2-element Vector{Complex{Int64}}:
 5 - 6im
 7 - 8im

julia> a + b
2-element Vector{Complex{Int64}}:
  6 + 8im
 10 + 12im

julia> a - b
2-element Vector{Complex{Int64}}:
 -4 - 4im
 -4 - 4im

julia> a .* b
2-element Vector{Complex{Int64}}:
  -7 + 16im
 -11 + 52im

julia> a ./ b
2-element Vector{Complex{Float64}}:
 0.2786885245901639 + 0.06557377049180328im
 0.4690265486725664 + 0.035398230088495575im

julia> a .+ c
2-element Vector{Complex{Int64}}:
 2 + 1im
 4 + 3im

julia> a .- c
2-element Vector{Complex{Int64}}:
 0 + 3im
 2 + 5im

julia> a .* c
2-element Vector{Complex{Int64}}:
 3 + 1im
 7 + 1im

julia> a ./ c
2-element Vector{Complex{Float64}}:
 -0.5 + 1.5im
 -0.5 + 3.5im

julia> dot(a, b)
70 - 8im

julia> dot(b, a)
70 + 8im

julia> dot(a, a)
30 + 0im

julia> dot(b, b)
174 + 0im

julia> norm(a)
5.477225575051661

julia> norm(b)
13.19090595827292

●複素行列

成分が複素数の行列を「複素行列」という

成分がすべて実数の行列を「実行列」という

複素行列 \(A\) において、各成分をその複素共役に変えた行列を複素共役行列といい \(A^*\) で表す
\(A\) を転置して各成分を複素共役に変えた行列を「随伴行列 (adjoint matrix)」といい \(A^{\dagger}\) で表す

\(A\) の各成分を複素共役に変えてから転置してもよい
\(A^{\dagger} = (A^{\mathrm{T}})^* = (A^*)^{\mathrm{T}}\)
この操作をエルミート転置 (Hermitian transpose) という
Julia でエルミート転置を行うには A' または adjoint(A) とする
関数 transpose(A) は複素共役をとらずに転置だけを行う

随伴行列の性質

\((A^{\dagger})^{\dagger} = A\)
\((A + B)^{\dagger} = A^{\dagger} + B^{\dagger}\)
\((a A)^{\dagger} = a^* A^{\dagger}\), a : 定数 (複素数)
\((A B)^{\dagger} = B^{\dagger} A^{\dagger}\)
\(\det A^{\dagger} = (\det A)^*, \ \mathrm{Tr} \ A^{\dagger} = (\mathrm{Tr} \ A)^*\), \(A\) は正方行列
(\(A^{-1})^{\dagger} = (A^{\dagger})^{-1}\), \(A\) は正則行列
\((A u, v) = (u, A^{\dagger} \, v)\), ( , ) はエルミート内積

\(A^{\dagger} = A\) を満たすとき、A を「エルミート行列 (Hermitian matrix)」という

エルミート行列の主対角成分は実数になる
実行列の場合、エルミート行列は対称行列になる

\(A^{\dagger} = -A\) を満たすとき、\(A\) を「歪エルミート行列 (skew Hermitian matrix)」という
\(A^{\dagger} = A^{-1}\) を満たすとき、A を「ユニタリ行列 (unitary matrix)」という

実行列の場合、ユニタリ行列は直交行列になる

julia> a = [1+1im 1-1im; 2+3im 2+1im]
2×2 Matrix{Complex{Int64}}:
 1+1im  1-1im
 2+3im  2+1im

julia> transpose(a)
2×2 transpose(::Matrix{Complex{Int64}}) with eltype Complex{Int64}:
 1+1im  2+3im
 1-1im  2+1im

julia> a'
2×2 adjoint(::Matrix{Complex{Int64}}) with eltype Complex{Int64}:
 1-1im  2-3im
 1+1im  2-1im

julia> adjoint(a)
2×2 adjoint(::Matrix{Complex{Int64}}) with eltype Complex{Int64}:
 1-1im  2-3im
 1+1im  2-1im

julia> a''
2×2 Matrix{Complex{Int64}}:
 1+1im  1-1im
 2+3im  2+1im

julia> b = [1+0im 1+1im; 1-1im 0+1im]
2×2 Matrix{Complex{Int64}}:
 1+0im  1+1im
 1-1im  0+1im

julia> (a + b)'
2×2 adjoint(::Matrix{Complex{Int64}}) with eltype Complex{Int64}:
 2-1im  3-2im
 2+0im  2-2im

julia> a' + b'
2×2 Array{Matrix{Int64}}:
 2-1im  3-2im
 2+0im  2-2im

julia> c = 1 - 1im
1 - 1im

julia> (c .* a)'
2×2 adjoint(::Matrix{Complex{Int64}}) with eltype Complex{Int64}:
 2+0im  5-1im
 0+2im  3+1im

julia> conj(c) .* a'
2×2 Matrix{Complex{Int64}}:
 2+0im  5-1im
 0+2im  3+1im

julia> (a * b)'
2×2 adjoint(::Matrix{Complex{Int64}}) with eltype Complex{Int64}:
 1+1im   5-2im
 1-3im  -2-7im

julia> b' * a'
2×2 Matrix{Complex{Int64}}:
 1+1im   5-2im
 1-3im  -2-7im

julia> det(a)
-4.0 + 2.0000000000000004im

julia> det(a')
-4.0 - 2.0im

julia> conj(det(a))
-4.0 - 2.0000000000000004im

julia> inv(a)
2×2 Matrix{Complex{Float64}}:
 -0.3-0.4im   0.3-0.1im
  0.1+0.8im  -0.1-0.3im

julia> inv(a)'
2×2 adjoint(::Matrix{ComplexF64}) with eltype ComplexF64:
 -0.3+0.4im   0.1-0.8im
  0.3+0.1im  -0.1+0.3im

julia> inv(a')
2×2 adjoint(::Matrix{ComplexF64}) with eltype ComplexF64:
 -0.3+0.4im   0.1-0.8im
  0.3+0.1im  -0.1+0.3im

julia> u = [1+2im, 3+4im]
2-element Vector{Complex{Int64}}:
 1 + 2im
 3 + 4im

julia> v = [5+6im, 7+8im]
2-element Vector{Complex{Int64}}:
 5 + 6im
 7 + 8im

julia> a * u
2-element Vector{Complex{Int64}}:
  6 + 4im
 -2 + 18im

julia> dot(a * u, v)
184 - 126im

julia> dot(u, a' * v)
184 - 126im

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